My friend and me ou my friend and I

Esta é uma dúvida bem comum: o que é correto dizer, my friend and I ou my friend and me?

Na verdade, os 2 são corretos, só temos que observar como usamos.

I é um pronome sujeito, então se a expressão estiver na posição do sujeito da frase, my friend and I é o correto:

My friend and I went to the movies yesterday. (Meu amigo e eu fomos no cinema ontem.)
John and I are going to watch the game tonight. (Eu e João vamos assistir o jogo hoje a noite.)

Me é um pronome objeto, então se a expressão estiver na posição do objeto, my friend and me é o correto:

They invited my friend and me to the party. (Eles convidaram eu e meu amigo para a festa.)
She gave my friend and me the presents. (Ela deu os presentes para meu amigo para mim.)

...

Ok, então dizer me and my friend went to the party está errado?

Sim, gramaticalmente está errado, mas esta também é uma forma bem comum de se ouvir. Nem sempre o que o pessoal usa comumente é o correto.